우선, 이 글을 쓰는 사람은 수학전공자가 아니고 이 글은 그저 다큐멘터리를 옮겨온 것에 불과하다.
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페르마의 마지막정리에 관련해서 볼만한 다큐가 두개 있는데, 하나는 'BBC 페르마의 마지막 정리' 이고 다른 하나는 'EBS 다큐프라임 문명과 수학 5부 남겨진 문제들 페르마의 마지막 정리' 이다.
일단, 이 밑으로는 페르마의 마지막정리는 FLT 라고 하겠다.
약간 성격이 다른데 내용은 비슷한다. 다만 ebs 가 다루는것은 좀 간략화되어 있고 FLT 이외의 사항도 다루기 때문에 분량이 좀 작다.
BBC 는 다큐 하나가 오롯이 FLT 만을 다루는데 내용이 좀 더 심도가 깊다.
물론, 그 깊은 심도는 이 다큐를 보는 사람들을 위한것은 아니라고 생각한다. 어차피 다큐멘터리 하나 보고 따라갈 내용들도 아니고...
우선 다들 아는 FLT 는 이렇다.
페르마는 고대 그리스의 수학책인 디오판토스의 '산술' 이라는 책을 가지고 있었는데 그 책의 여백에 여러가지 문제들에 대한 내용들을 적어넣었다.
많은이들이 이를 연구해 해결했고 마지막 하나만 미해결로 남았는데, 그래서 페르마의 마지막 정리라고 부른다.
그내용은 다 알다시피 이렇게 쓰여졌다고 한다.
일반적으로 3 이상의 지수를 가진 정수는 이와 동일한 지수를 가진 다른 두 수의 합으로 표현될 수 없다. 나는 이것을 경이로운 방법으로 증명하였으나, 책의 여백이 충분하지 않아 옮기지는 않는다.
이를 수식으로 표현하면 위와 같다.
그럼, 이 문제를 해결한 앤드류 와일드는 어떻게 이를 증명했을까?
다큐를 참조하면... 이렇다.
일본의 두 수학자가 어떤 추측을 내놓는다.
이를 시무라 - 타니야마 추측이라고 하며 줄여서 T-S 추측이라고 하는데, 그 내용은 이렇다.
"모든 타원곡선은 모듈러 형식이다."
문제는.. 타원곡선도, 모듈러형식도 난해하다는 것이다. 그러니 그냥 그런 개념들이 있고 이것은 굉장히 중요한 추론이며 이 추론 위에 많은 이론들이 세워졌다 라는 정도로 알고 넘어가자. (물론, 이 블로그 주인도 당연히 모른다. ^^;;;)
그리고, 독일의 수학자인 게르하르트 프라이가 1985년 특이한 발상을 한다.
그는 만일 FLT 가 거짓이면? 이라고 가정했다.
그러면 방정식의 해가 존재하지 않는다는게 틀렸다는 것이니 해가 존재한다 라고 바뀌게 되는데,
그 방정식을 변형하면 밑의 그림과 같은 타원곡선의 방정식이 된다.
위 식은 EBS 다큐에서 나오는 식인데
이것에 대한 BBC 다큐의 표현을 빌자면,
FLT 가 틀렸다고 가정해서 만든 방정식을 타원곡선으로 변환하면 괴상한 성질을 가지는 타원곡선이 존재하게 되는데 프라이는 그 타원곡선은 아마 모듈러가 아닐것이다 라고 추측한다.
이를 엡실론 추측이라고 한다.
그리고 후에 리벳이 이 엡실론 추측이 맞다고 증명하게 된다.
앤드류 와일드는 이 내용을 바탕으로 T-S 추론을 증명해선 역으로 FLT 가 맞다는걸 증명해 들어간 것이다.
정리하면 이렇다.
1. 만일 FLT 의 방정식의 정수해가 존재한다면 (페르마의 추측이 틀렸다면) 이 방정식을 변형해서 타원곡선의 방정식으로 만들수 있다.
2. 이 타원곡선 방정식은 모듈이 아니다. (엡실론의 추측 - 리벳의 정리)
3. 그러므로 T-S 추측이 잘못된 것이 아니라면 위의 2. 는 불가능하다. (모든 타원곡선은 모듈러형식이다 라는게 T-S 추측이니까...)
4. 즉, FLT 가 거짓이면 T-S 추측도 거짓이다. 라는 이야기가 된다.
5. 명제의 대우는 명제와 참, 거짓이 같으니까... T-S 추측이 참이라면 FLT 도 참이다 라는 결론이 된다.
6. 그러므로 최종적으로... T-S 추측이 참인것을 증명하는 것은 자동적으로 FLT 가 참이라는 것도 증명이 된다.
7. 앤드류 와일드는 이 T-S 추측이 참인것을 증명했다.
와일드는 이 과정에서 20세가 현대 수학의 많은 내용들을 적용했다. 그 내용들을 보면, 아무리 페르마가 천재라고 하더라도 같은 내용을 알고있었다라고 인정해 주는것은 좀 어렵다.
대부분의 내용들이 20세기 수학이니까...
그 외에 어떤 간단한 방법이 있었다고 해도, 그 수많은 세월동안 많은 수학자들이 같은 방법을 찾아내지 못했다고 수긍하는것도 사실 쉽지 않다.
결국... 페르마는 그 뛰어난 직관으로 이 결과를 얻어냈지만, 정작 수학적 증명은 잘못 이해하고 있었던게 아닐까 하는 생각을 지울 수 없다.
물론, 이것은... 영원히 확인할 수 없겠지만...
그리고 EBS 는 약간 깊이있게 다루지 않았다고 했는데.. 이런 부분들이 그렇다.
앤드류 와일드는 최초 T-S 추론이 맞다는걸 증명했고 따라서 FLT 도 맞습니다. 라고 강의하면서
"이쯤에서 끝내는 것이 좋겠습니다.' 라고 했다고 하는데
BBC 다큐에서도 동일 내용을 다룬다. 다만, 여기서는.. 그 후에 중간 과정에 오류가 발견되었고 그 이후에 한참동안을 앤드류 와일드가 그 오류를 수정하기 위해 노력한 내용이 덧붙여진다. (결국... 완전하게 결함을 보완한다.)
즉, 신문에 대서특필된... FLT 가 풀렸다던 그 시점의 증명은 완벽하지 않았고 추후에 결함이 보완되었다 라는 것이다.
PS.
가끔... 괴상한 상상을 한다.
만일 2차원의 생물을 3차원의 생물인 우리가 그 평면에서 들어올린다면 2차원의 다른 생물들은 그 들어올려진 생물을 인지할 수 없다고 한다.
자신들의 인지 속에서... 허공으로 사라지는 것이다.
그걸 다시 2차원의 장애물을 지나 먼곳에 내려놓는다면 (우리는 3차원적인 존재니까 평면의 위 공간을 통해 이동시키면) 2차원의 다른 생물들은 들어올려졌던 생물이 갑자기 나타난것으로 인지되고...
즉,
2차원의 존재는 3차원중에서 2차원에 해당되는 부분만을 이해할 수 있고, 그 외에는 절대 이해할 수 없다.
3차원의 존재는 4차원중에서 3차원에 해당되는 부분만을 이해할 수 있고, 그 외에는 절대 이해할 수 없다.
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위의 FLT 에서 페르마가 말한 지수 n 이 3이라면 이건 우리 3차원 세상에선 성립하지 않지만, 오히려 4차원에서는 그게 바로 그 차원의 피타고라스 정리 같은게 아닐까?
n 이 4 라면 5차원의 피타고라스 정리고...
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그런....
희한하고도 괴상한 상상을 해본다.
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