우선, 이 글을 쓰는 사람은 수학전공자가 아니고 이 글은 그저 다큐멘터리를 옮겨온 것에 불과하다.

-------


페르마의 마지막정리에 관련해서 볼만한 다큐가 두개 있는데, 하나는 'BBC 페르마의 마지막 정리' 이고 다른 하나는 'EBS 다큐프라임 문명과 수학 5부 남겨진 문제들 페르마의 마지막 정리' 이다.


일단, 이 밑으로는 페르마의 마지막정리는 FLT 라고 하겠다.


약간 성격이 다른데 내용은 비슷한다. 다만 ebs 가 다루는것은 좀 간략화되어 있고 FLT 이외의 사항도 다루기 때문에 분량이 좀 작다.

BBC 는 다큐 하나가 오롯이 FLT 만을 다루는데 내용이 좀 더 심도가 깊다.


물론, 그 깊은 심도는 이 다큐를 보는 사람들을 위한것은 아니라고 생각한다. 어차피 다큐멘터리 하나 보고 따라갈 내용들도 아니고...


우선 다들 아는 FLT 는 이렇다.

 

페르마는 고대 그리스의 수학책인 디오판토스의 '산술' 이라는 책을 가지고 있었는데 그 책의 여백에 여러가지 문제들에 대한 내용들을 적어넣었다.

많은이들이 이를 연구해 해결했고 마지막 하나만 미해결로 남았는데, 그래서 페르마의 마지막 정리라고 부른다.

 

그내용은 다 알다시피 이렇게 쓰여졌다고 한다.

 

일반적으로 3 이상의 지수를 가진 정수는 이와 동일한 지수를 가진 다른 두 수의 합으로 표현될 수 없다. 나는 이것을 경이로운 방법으로 증명하였으나, 책의 여백이 충분하지 않아 옮기지는 않는다.

 

 

이를 수식으로 표현하면 위와 같다.

그럼, 이 문제를 해결한 앤드류 와일드는 어떻게 이를 증명했을까?

다큐를 참조하면... 이렇다.

 

 

 

 

일본의 두 수학자가 어떤 추측을 내놓는다.

이를 시무라 - 타니야마 추측이라고 하며 줄여서 T-S 추측이라고 하는데, 그 내용은 이렇다.

"모든 타원곡선은 모듈러 형식이다."

 

문제는.. 타원곡선도, 모듈러형식도 난해하다는 것이다. 그러니 그냥 그런 개념들이 있고 이것은 굉장히 중요한 추론이며 이 추론 위에 많은 이론들이 세워졌다 라는 정도로 알고 넘어가자. (물론, 이 블로그 주인도 당연히 모른다. ^^;;;)

 

그리고, 독일의 수학자인 게르하르트 프라이가 1985년 특이한 발상을 한다.

그는 만일 FLT 가 거짓이면? 이라고 가정했다.

그러면 방정식의 해가 존재하지 않는다는게 틀렸다는 것이니 해가 존재한다 라고 바뀌게 되는데,

그 방정식을 변형하면 밑의 그림과 같은 타원곡선의 방정식이 된다.

 

 

위 식은 EBS 다큐에서 나오는 식인데

이것에 대한  BBC 다큐의 표현을 빌자면,

FLT 가 틀렸다고 가정해서 만든 방정식을 타원곡선으로 변환하면 괴상한 성질을 가지는 타원곡선이 존재하게 되는데 프라이는 그 타원곡선은 아마 모듈러가 아닐것이다 라고 추측한다.

 

이를 엡실론 추측이라고 한다.

그리고 후에 리벳이 이 엡실론 추측이 맞다고 증명하게 된다.

 

앤드류 와일드는 이 내용을 바탕으로 T-S 추론을 증명해선 역으로 FLT 가 맞다는걸 증명해 들어간 것이다.

 

 

 

정리하면 이렇다.

 

 

1. 만일 FLT 의 방정식의 정수해가 존재한다면 (페르마의 추측이 틀렸다면) 이 방정식을 변형해서 타원곡선의 방정식으로 만들수 있다.

 

2. 이 타원곡선 방정식은 모듈이 아니다. (엡실론의 추측 - 리벳의 정리)

 

3. 그러므로 T-S 추측이 잘못된 것이 아니라면 위의 2. 는 불가능하다. (모든 타원곡선은 모듈러형식이다 라는게 T-S 추측이니까...)

 

4. 즉, FLT 가 거짓이면 T-S 추측도 거짓이다. 라는 이야기가 된다.

 

5. 명제의 대우는 명제와 참, 거짓이 같으니까... T-S 추측이 참이라면 FLT 도 참이다 라는 결론이 된다.

 

6. 그러므로 최종적으로... T-S 추측이 참인것을 증명하는 것은 자동적으로 FLT 가 참이라는 것도 증명이 된다.

 

7. 앤드류 와일드는 이 T-S 추측이 참인것을 증명했다.

 

 

 

와일드는 이 과정에서 20세가 현대 수학의 많은 내용들을 적용했다. 그 내용들을 보면, 아무리 페르마가 천재라고 하더라도 같은 내용을 알고있었다라고 인정해 주는것은 좀 어렵다.

대부분의 내용들이 20세기 수학이니까...

그 외에 어떤 간단한 방법이 있었다고 해도, 그 수많은 세월동안 많은 수학자들이 같은 방법을 찾아내지 못했다고 수긍하는것도 사실 쉽지 않다.

결국... 페르마는 그 뛰어난 직관으로 이 결과를 얻어냈지만, 정작 수학적 증명은 잘못 이해하고 있었던게 아닐까 하는 생각을 지울 수 없다.

물론, 이것은... 영원히 확인할 수 없겠지만...

 

그리고 EBS 는 약간 깊이있게 다루지 않았다고 했는데.. 이런 부분들이 그렇다.

앤드류 와일드는 최초 T-S 추론이 맞다는걸 증명했고 따라서 FLT 도 맞습니다. 라고 강의하면서

"이쯤에서 끝내는 것이 좋겠습니다.' 라고 했다고 하는데

 

BBC 다큐에서도 동일 내용을 다룬다. 다만, 여기서는.. 그 후에 중간 과정에 오류가 발견되었고 그 이후에 한참동안을 앤드류 와일드가 그 오류를 수정하기 위해 노력한 내용이 덧붙여진다. (결국... 완전하게 결함을 보완한다.)

 

즉, 신문에 대서특필된... FLT  가 풀렸다던 그 시점의 증명은 완벽하지 않았고 추후에 결함이 보완되었다 라는 것이다.

 

 

 

 

Posted by 너른바다

댓글을 달아 주세요


상당히 오래전부터... 나는 우리나라의 경제가 2030년 경부터는 돌아오지 못할 강을 건널거라고 반농반진으로 이야기 해왔는데 그 이유는 출산률 때문이었다.


요즈음은 아니겠지만, 유치원부터 우리는 자랑스런 반만년 백의민족 단군의자손이라고 광복 이후부터 주입식 교육으로 넣어져 왔고 그 사상이 하루아침에 사라질수는 없는 일이라... 태생부터 다민족인 미국도 격는 인종문제를 생각할때 우리나라가 다문화 나라가 되는건 요원한 일이라 생각한다.


세상의 그 무엇이던지 항상성을 가지고 있는데 그 항상성을 깨뜨리는 변화가 일어날때는 오히려 되돌아가기 더 힘들어지고 구조적 변혁이 일어나게 된다.


우리 사회의 경우 그중에 하나가 출산율인데 저출산으로 인한 인구구성의 변화는 세월이 갈수록 가속화 할것이고 그것이 이루어져 온 시간의 깊이나 가속도는 추후 아무리 사회가 공감대를 형성하더라도 그때는 이미 감당하기 어려운 문제라 생각한다.


이를 막을만한 이벤트로는 통일과 출산율의 정상화 두가지를 생각하는데 통일은 아무리 요즘 시류가 좋다고 해도 짧아야 십수년에서 수십년은 걸려야 할 일일것이고... 결국 출산율의 정상화 없이는 현재의 경제와 사회를 유지하기는 어렵다.


출산율을 높이기 위해 수년간 수십조를 쏟아붇는다고 하지만 의미없는 일인데 차라리 그 돈을 태어난 아기들에게 순수하게 나눠준만도 못할것이라 본다.


우리나라 광역시. 도 중에 가장 출산율이 높은곳은 세종시인데 이것이 시사하는 바는 크다. 수많은 공시생들이 머리 싸매고 좁은 문을 뚫으려 노력하는 선망의 직업. 오로지 안정성 하나만으로 최고 경쟁율을 보이는 공무원들이 모여사는 계획도시가 바로 세종시인데 결국 저출산은 생활에 여유가 생기면 해결될 일이다.


하지만, 국가자본주의를 거쳐 오늘의 경제에 이른 우리는 태생적으로 몸에 익혀온, 경제를 위한 부속품으로서의 삶을 스스로 살아가고 자손들에게 이어가도록 강요하는데 막상 그 자손들은 그런 삶을 자신들의 아이들에게 이어줄 수 없다는 결론을 내었고 오늘에 이르게 되었다고 본다.


오늘도 듣던 퇴근길의 시사프로에서는 다시 성장위주의 정책으로 가야한다는 주장이 들린다. 과도한 근로시간을 줄이자 했더니 이를 탓하고 최저임금을 높이지 했더니 또 이를 탓한다. 뭐, 그게 당장의 경제를 살리는데 좋을지도 모르겠다. 일단 노동력을 갈아넣어 수출상품의 경쟁력을 높이면 뭐라도 팔릴지는 모르니까... 


하지만, 정작 그렇게 갈려나가는 노동력을 담당해야 하는 사람들은 어떨까? 지금의 세대는 조국의 영광을 위해 이 한몸 다 받쳐... 하지는 않는다. 더우기 그걸 자신의 사랑스런 자손에게 물려주려는 시도는 말할것도 없고...


개인적으론 소득주도성장론은 실패할것이라 생각한다.


하지만 그 실패의 원인은 전략이 잘못되어서가 아니라, 꾸준하고 치밀하게 방해하는 언론과 몇몇 세력들의 방해가 상당수의 국민들을 선동하면서 이도저도 아닌 결말을 만들어낼 것이라 생각하기 때문이다. 그리고 그 성장론을 받아들이게 되면 사회구조적 변혁이 일어나는데 그 과정에서 기존의 크고 작은 이익을 포기당하는 사람이 필연적으로 생기게 되어 그들 또한 반대세력에 휩쓸리게 된다.


소득주도 성장이라는게... 이미 전혀 다른 사상적 헤게모니가 자리잡은 사회의 틀을 깨는 작업인지라, 전체적인 사회의 공감대 없이는 공허한 주장이 될 뿐인데 특정 세력에게는 그걸 방해하면서 얻는 지엽적인 이득이 만만치 않기 때문에 결코 방해를 그치지 않는다.

결국은 실패할 소득주도성장론이든 택도없는 괴담같은 낙수이론이든...  미래는 아주 천천히 죽어가는 과정이 아닐까 싶다.

Posted by 너른바다

댓글을 달아 주세요



정말 저게 처음일까?


이전에도 있지도 않은 주식으로 공매도를 하고 수익을 올려온건 없을까?


기관이야 주식에 대해 개미들보다 훨씬 큰 영향력을 가지고 있는데


자신들이 있지도 않은 주식으로 공매도를 쳐놓고 나중에 주가가 내려가는데 일조한 후에 다시 사서 채워넣은건 정말 없을까?


이런 의문을 가지게 하네요.




정말 처음일까?







Posted by 너른바다

댓글을 달아 주세요

지난 2018년 1월 31일 밤 8시40분부터 발생한 개기월식과 슈퍼 블루 블러드문이 겹친날에 찍은 영상입니다.


달이 지구에서 가장 가깝고 크게 보이는 것이 슈퍼문


보름달이 한 달에 두 번 뜰 때 둘째 달을 가리키는 것이 블루문이라고 하네요.


여기에 개기월식까지 합해진것이 이번 우주쇼였습니다.


이런 현상은 1982년 12월 이후 35년여 만의 일이라고 하네요.





Posted by 너른바다

댓글을 달아 주세요

여러가지 이야기가 있지만, 일단 가상화폐는 절대 화폐가 될 수 없다.

현대 자본주의 사회에선 발권력은 국가가 가지는 가장 큰 경제권력이고 경제를 조율하는 가장 크면서 마지막의 수단이 된다.

그러기에 경제가 제대로 돌아가는 각각의 국가는 중앙은행 또는 그에 상응하는 조직을 두어 자국의 화폐를 통제하고 있다.


이러한 화폐의 궁극의 권위를 우리는 기축통화라고 부른다. 쉽게 말하자면 한 국가에 국한되지 않고 세계적으로 널리 통용되는 화폐라고 하면 될것이다.

근데 이걸 다시말하면... 어디서 많이 듣던 이야기이다.

바로 가상통화가 내걸은 목표이다.

세계에 널리 쓰이는 공통의 화폐.


하지만 비트코인류가 세계의 기축통화는 물론이고, 한 나라의 화폐가 될 일도 없을것이다.

흔히들 요즈음의 화폐는 신용화폐이고 가상화폐도 세계의 시민들이 그 지위를 부여하면 될 일이다 라고들 하는데...

문제는... 그게 불가능하다는 것이다.


기축통화를 둘러싼 싸움은 엄청난 싸움이다.

대체로 미국의 달러와 유로의 유로화, 일본의 엔화와 중국의 인민폐가 일컬어지는데 이 헤게모니 싸움에 무정부주의를 표방한 가상통화가 낄 자리는 없다.


화폐는 완벽하지는 않지만, 그래도 현재의 복잡한 경제를 꽤나 잘 보조하고 있다.

흔히들 생각하듯이... 그냥 구성원들끼리 이것도 화폐라 하자 라고 합의했다고 가능한것도 아닌것이... 다른 종류의 가상화폐도 있긴 하지만, 대부분의 가상화폐는 채굴량에 한계가 있다. 

이것은 통화량에 한계가 있다는 것인데, 경제규모는 나날이 커지므로 결국 가상화폐가 진짜 화폐가 된다면 매순간이 디플레이션이 될 수 밖에 없고, 한참 후에는 시중에 희한한 단위들이 등장할 것이다. 

얼마에요? 라는 질문에 1 옹스트롱 (10의 마이너스 10승) 코인요..라는 식으로....


화폐가 아닌것과 투자대상이 아닌것은 또 별개의 문제인데

우리는 화폐가 아닌것에 대해 투자하는 여러가지 것들을 알고있다.


흔히 투기와 투자를 구분해서 사용하지만, 명확한 정의를 제시한 사람은 없다.

하지만 투자의 경우는 통상적으로 그게 물리적인 실체가 있던가 경제적, 법리적인 권리 등의 실체가 있다.

그런 유무형의 실체에서 상식적으로 유추되는 정도를 넘어선 투자가 투기가 아닌가 싶은데

가상화폐의 경우엔 그게 아예 없다.

있는것이라곤 단 두가지.

하나는 다른 사람이 더 높은 금액에 사 줄 것이라는 기대감

다른 하나는, 이건 IT야.. 다른거랑은 달라. 일단 가치부터 부여하면 쓰임새는 그냥 만들어질거야 하는식의 이상한 논리이다.


블록체인이라는 신기술을 모르고 하는 이야기라고들 하지만,

대체로 기술이라는 것은 그자체로 거래의 매개체로 쓰이는 경우는 없다.

그게 상품으로 구현된 것을 우리는 향유하는 것이다.


그 기술의 면면의 전부가 전혀 새롭기만 한것도 아닌게...비슷한 기술을 우리는 그동안 많이 보고 들어오기도 했다.

애초에 인터넷망이 이렇듯이 세계의 자원을 하나로 묶어주는 기술이고

NASA 의 SETI 프로그램이 네티즌들의 PC 가 노는 시간에 돌아가는 스크린세이버 속에 프로그램을 심어 외계인을 찾는 프로그램에 자신도 모르게 동참시킨 그리드 컴퓨팅 기술들이 있다.


블록체인은 물론, 이것과는 다른데.. 여기서 더 발전해 암호화 특성과 분산노드에 의한 위변조 사항에 대한 처리기능 등등이 더해진다.

하지만, 이것도 기술이다.

기술은 끊임없이 발전해왔다.

한가지 유념할 것은... 그 기술의 발달은 하나의 조직이 해온것이 아니라 전혀 다른 임의의 곳에서 임의의 시간에 행해져 왔다는 것이다.

그럼, 블록체인보다 더 나은 기술이 나온다면 이 블록체인에 기반을 둔 가상화폐들은 다 화폐의 가치를 잃고 새로운 기술에 기반한 것이 화폐의 지위를 차지할까?

현실경제에서 이게 가능한 일일까?


국가가 이것을 왜 통제하는가?

간단하게 말하자면... 가상화폐는 국가 경제에 대한 부정에서 출발하기 때문이다.

가상화폐는 기본 원리에 특정세력으로부터의 독립을 주장하고 있고 그건 국가의 경제 통제권을 벗어나겠다는 시도이다.

뭐, 국제적으로 불법적인 돈을 대량으로 이동시켜야 하는 사람들에겐 환상적인 환경이긴 한데...

현대 경제를 부정하는 전제이므로 국가 단위에서는 이것을 이전할 이유가 없다.

그런 폐해보다 얻어지는 이익이 더 많다면? (그 이익이 뭔지는 모르겠지만...) 그냥 국가가 통화량 제한등의 몇가지는 보완해서 자신들의 가상화폐를 만들면 될 일이다.


중간에 썼듯이...

가상화폐 투자(투기든 투자든)의 가장 기본적인 전제는 남이 더 비싼 가격에 사줄것이다 라는 기대감이다.

가상화폐에 대한 광고는... 여기에서 기인한다고 생각된다.

뭐, 불가능한 전제는 아니다.

실제, 가상화폐가 아니더라도 이런식으로 돈을 벌어온건도 역사의 한 부분이긴 하니까...




Posted by 너른바다

댓글을 달아 주세요