우선, 이 글을 쓰는 사람은 수학전공자가 아니고 이 글은 그저 다큐멘터리를 옮겨온 것에 불과하다.

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페르마의 마지막정리에 관련해서 볼만한 다큐가 두개 있는데, 하나는 'BBC 페르마의 마지막 정리' 이고 다른 하나는 'EBS 다큐프라임 문명과 수학 5부 남겨진 문제들 페르마의 마지막 정리' 이다.


일단, 이 밑으로는 페르마의 마지막정리는 FLT 라고 하겠다.


약간 성격이 다른데 내용은 비슷한다. 다만 ebs 가 다루는것은 좀 간략화되어 있고 FLT 이외의 사항도 다루기 때문에 분량이 좀 작다.

BBC 는 다큐 하나가 오롯이 FLT 만을 다루는데 내용이 좀 더 심도가 깊다.


물론, 그 깊은 심도는 이 다큐를 보는 사람들을 위한것은 아니라고 생각한다. 어차피 다큐멘터리 하나 보고 따라갈 내용들도 아니고...


우선 다들 아는 FLT 는 이렇다.

 

페르마는 고대 그리스의 수학책인 디오판토스의 '산술' 이라는 책을 가지고 있었는데 그 책의 여백에 여러가지 문제들에 대한 내용들을 적어넣었다.

많은이들이 이를 연구해 해결했고 마지막 하나만 미해결로 남았는데, 그래서 페르마의 마지막 정리라고 부른다.

 

그내용은 다 알다시피 이렇게 쓰여졌다고 한다.

 

일반적으로 3 이상의 지수를 가진 정수는 이와 동일한 지수를 가진 다른 두 수의 합으로 표현될 수 없다. 나는 이것을 경이로운 방법으로 증명하였으나, 책의 여백이 충분하지 않아 옮기지는 않는다.

 

 

이를 수식으로 표현하면 위와 같다.

그럼, 이 문제를 해결한 앤드류 와일드는 어떻게 이를 증명했을까?

다큐를 참조하면... 이렇다.

 

 

 

 

일본의 두 수학자가 어떤 추측을 내놓는다.

이를 시무라 - 타니야마 추측이라고 하며 줄여서 T-S 추측이라고 하는데, 그 내용은 이렇다.

"모든 타원곡선은 모듈러 형식이다."

 

문제는.. 타원곡선도, 모듈러형식도 난해하다는 것이다. 그러니 그냥 그런 개념들이 있고 이것은 굉장히 중요한 추론이며 이 추론 위에 많은 이론들이 세워졌다 라는 정도로 알고 넘어가자. (물론, 이 블로그 주인도 당연히 모른다. ^^;;;)

 

그리고, 독일의 수학자인 게르하르트 프라이가 1985년 특이한 발상을 한다.

그는 만일 FLT 가 거짓이면? 이라고 가정했다.

그러면 방정식의 해가 존재하지 않는다는게 틀렸다는 것이니 해가 존재한다 라고 바뀌게 되는데,

그 방정식을 변형하면 밑의 그림과 같은 타원곡선의 방정식이 된다.

 

 

위 식은 EBS 다큐에서 나오는 식인데

이것에 대한  BBC 다큐의 표현을 빌자면,

FLT 가 틀렸다고 가정해서 만든 방정식을 타원곡선으로 변환하면 괴상한 성질을 가지는 타원곡선이 존재하게 되는데 프라이는 그 타원곡선은 아마 모듈러가 아닐것이다 라고 추측한다.

 

이를 엡실론 추측이라고 한다.

그리고 후에 리벳이 이 엡실론 추측이 맞다고 증명하게 된다.

 

앤드류 와일드는 이 내용을 바탕으로 T-S 추론을 증명해선 역으로 FLT 가 맞다는걸 증명해 들어간 것이다.

 

 

 

정리하면 이렇다.

 

 

1. 만일 FLT 의 방정식의 정수해가 존재한다면 (페르마의 추측이 틀렸다면) 이 방정식을 변형해서 타원곡선의 방정식으로 만들수 있다.

 

2. 이 타원곡선 방정식은 모듈이 아니다. (엡실론의 추측 - 리벳의 정리)

 

3. 그러므로 T-S 추측이 잘못된 것이 아니라면 위의 2. 는 불가능하다. (모든 타원곡선은 모듈러형식이다 라는게 T-S 추측이니까...)

 

4. 즉, FLT 가 거짓이면 T-S 추측도 거짓이다. 라는 이야기가 된다.

 

5. 명제의 대우는 명제와 참, 거짓이 같으니까... T-S 추측이 참이라면 FLT 도 참이다 라는 결론이 된다.

 

6. 그러므로 최종적으로... T-S 추측이 참인것을 증명하는 것은 자동적으로 FLT 가 참이라는 것도 증명이 된다.

 

7. 앤드류 와일드는 이 T-S 추측이 참인것을 증명했다.

 

 

 

와일드는 이 과정에서 20세가 현대 수학의 많은 내용들을 적용했다. 그 내용들을 보면, 아무리 페르마가 천재라고 하더라도 같은 내용을 알고있었다라고 인정해 주는것은 좀 어렵다.

대부분의 내용들이 20세기 수학이니까...

그 외에 어떤 간단한 방법이 있었다고 해도, 그 수많은 세월동안 많은 수학자들이 같은 방법을 찾아내지 못했다고 수긍하는것도 사실 쉽지 않다.

결국... 페르마는 그 뛰어난 직관으로 이 결과를 얻어냈지만, 정작 수학적 증명은 잘못 이해하고 있었던게 아닐까 하는 생각을 지울 수 없다.

물론, 이것은... 영원히 확인할 수 없겠지만...

 

그리고 EBS 는 약간 깊이있게 다루지 않았다고 했는데.. 이런 부분들이 그렇다.

앤드류 와일드는 최초 T-S 추론이 맞다는걸 증명했고 따라서 FLT 도 맞습니다. 라고 강의하면서

"이쯤에서 끝내는 것이 좋겠습니다.' 라고 했다고 하는데

 

BBC 다큐에서도 동일 내용을 다룬다. 다만, 여기서는.. 그 후에 중간 과정에 오류가 발견되었고 그 이후에 한참동안을 앤드류 와일드가 그 오류를 수정하기 위해 노력한 내용이 덧붙여진다. (결국... 완전하게 결함을 보완한다.)

 

즉, 신문에 대서특필된... FLT  가 풀렸다던 그 시점의 증명은 완벽하지 않았고 추후에 결함이 보완되었다 라는 것이다.

 

 

 

 

Posted by 너른바다

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제2롯데월드타워를 짓는 도중 석촌호수의 수위가 낮아진다는 뉴스가 한때 화재가 된 적이 있었다. 이렇듯, 갑자기 도로가 꺼지는 싱크홀 등의 지반침하 사고가 발생하면서 이런 땅속에서의 변화에 대한 사회적 관심이 높아졌고 그래서 정부는 각종 건축물을 지을때 이러한 건축물의 지하공사가 주변 지하에 미치는 영향을 관리하기 위한 법을 만들었다.


지난 2018년 1월 1일부터 지하안전관리에 관한 특별법이 시행되고 있는것이 바로 그것인데 이는 일정한 규모 이상의 지하 굴착공사를 수반하는 사업에 대해서는 지하안전영향평가와 사후지하안전영향조사를 실시하라는 것이다.

또한, 이러한 정보의 통합관리체계를 구축 운영하는 것도 포함하고 있다.


세부적으로 보면 법에서 정한 개발사업을 하면서 지하를 20m 이상 굴착하는 경우는 지하안전영향평가를 실시하여야 하고 10m 이상인 경우는 소규모지하안전영향평가를 실시하여야 하며 이를 개발사업의 승인기관 장에게 제출하도록 되어 있다.


이것으로 완료되는 것이 아니라, 개발사업을 하려는 자는 그 대상사업을 착공한 후에 다시 그 사업이 지하안전에 미치는 영향을 조사하는 사후지하안전영향조사를 실시하고 별도의 조치가 필요한 경우 그 내용과 조치내용을 다시 국토부장관과 승인기관의 장에게 보고하도록 되어 있다.


위의 내용을 살펴보면 지하안전영향평가는 설계단계에서 이루어 져야 할것으로 보이는데, 아무래도 지하구조물의 내용이 선행되므로 설계사무소가 자신의 업무영역 안에서 관리하는 별도 용역으로 처리되지 않을까 싶다. 또한, 사후지하안전영향조사는 시공사의 업무 영역안에서 관리하는 별도 용역으로 처리될 것으로 보인다.


이런 내용의 관리를 위해 국토교통부는 지하안전정보시스템을 구축했는데 해당 업무를 할 수 있는 전문기관 업체 현황이라던가 지하안전영향평가의 신청과 관련된 업무를 확인할 수 있다.


이 제도가 시행되는 것은 2018년 1월 1일부터이지만, 이때에 이미 대상 사업과 관련된 인허가가 일부 진행중이었다면 해당되지 않는다고 하는데 그 내용은 건축심의나 경관심의 등의 인허가 절차들의 진행을 말한다고 하며, 그래서 7월 들어서야 이 지하안전영향평가를 받았다고 하는 건축물들에 대한 뉴스들이 보이기 시작한거 같다.


하지만 사업의 정확한 대상여부는 간단하게 이런 블로그 글로 판단할 것은 아니고, 개발사업을 하려는 자가 직접 해당 승인관청에 확인하여야 함은 당연하다.



 

Posted by 너른바다

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상당히 오래전부터... 나는 우리나라의 경제가 2030년 경부터는 돌아오지 못할 강을 건널거라고 반농반진으로 이야기 해왔는데 그 이유는 출산률 때문이었다.


요즈음은 아니겠지만, 유치원부터 우리는 자랑스런 반만년 백의민족 단군의자손이라고 광복 이후부터 주입식 교육으로 넣어져 왔고 그 사상이 하루아침에 사라질수는 없는 일이라... 태생부터 다민족인 미국도 격는 인종문제를 생각할때 우리나라가 다문화 나라가 되는건 요원한 일이라 생각한다.


세상의 그 무엇이던지 항상성을 가지고 있는데 그 항상성을 깨뜨리는 변화가 일어날때는 오히려 되돌아가기 더 힘들어지고 구조적 변혁이 일어나게 된다.


우리 사회의 경우 그중에 하나가 출산율인데 저출산으로 인한 인구구성의 변화는 세월이 갈수록 가속화 할것이고 그것이 이루어져 온 시간의 깊이나 가속도는 추후 아무리 사회가 공감대를 형성하더라도 그때는 이미 감당하기 어려운 문제라 생각한다.


이를 막을만한 이벤트로는 통일과 출산율의 정상화 두가지를 생각하는데 통일은 아무리 요즘 시류가 좋다고 해도 짧아야 십수년에서 수십년은 걸려야 할 일일것이고... 결국 출산율의 정상화 없이는 현재의 경제와 사회를 유지하기는 어렵다.


출산율을 높이기 위해 수년간 수십조를 쏟아붇는다고 하지만 의미없는 일인데 차라리 그 돈을 태어난 아기들에게 순수하게 나눠준만도 못할것이라 본다.


우리나라 광역시. 도 중에 가장 출산율이 높은곳은 세종시인데 이것이 시사하는 바는 크다. 수많은 공시생들이 머리 싸매고 좁은 문을 뚫으려 노력하는 선망의 직업. 오로지 안정성 하나만으로 최고 경쟁율을 보이는 공무원들이 모여사는 계획도시가 바로 세종시인데 결국 저출산은 생활에 여유가 생기면 해결될 일이다.


하지만, 국가자본주의를 거쳐 오늘의 경제에 이른 우리는 태생적으로 몸에 익혀온, 경제를 위한 부속품으로서의 삶을 스스로 살아가고 자손들에게 이어가도록 강요하는데 막상 그 자손들은 그런 삶을 자신들의 아이들에게 이어줄 수 없다는 결론을 내었고 오늘에 이르게 되었다고 본다.


오늘도 듣던 퇴근길의 시사프로에서는 다시 성장위주의 정책으로 가야한다는 주장이 들린다. 과도한 근로시간을 줄이자 했더니 이를 탓하고 최저임금을 높이지 했더니 또 이를 탓한다. 뭐, 그게 당장의 경제를 살리는데 좋을지도 모르겠다. 일단 노동력을 갈아넣어 수출상품의 경쟁력을 높이면 뭐라도 팔릴지는 모르니까... 


하지만, 정작 그렇게 갈려나가는 노동력을 담당해야 하는 사람들은 어떨까? 지금의 세대는 조국의 영광을 위해 이 한몸 다 받쳐... 하지는 않는다. 더우기 그걸 자신의 사랑스런 자손에게 물려주려는 시도는 말할것도 없고...


개인적으론 소득주도성장론은 실패할것이라 생각한다.


하지만 그 실패의 원인은 전략이 잘못되어서가 아니라, 꾸준하고 치밀하게 방해하는 언론과 몇몇 세력들의 방해가 상당수의 국민들을 선동하면서 이도저도 아닌 결말을 만들어낼 것이라 생각하기 때문이다. 그리고 그 성장론을 받아들이게 되면 사회구조적 변혁이 일어나는데 그 과정에서 기존의 크고 작은 이익을 포기당하는 사람이 필연적으로 생기게 되어 그들 또한 반대세력에 휩쓸리게 된다.


소득주도 성장이라는게... 이미 전혀 다른 사상적 헤게모니가 자리잡은 사회의 틀을 깨는 작업인지라, 전체적인 사회의 공감대 없이는 공허한 주장이 될 뿐인데 특정 세력에게는 그걸 방해하면서 얻는 지엽적인 이득이 만만치 않기 때문에 결코 방해를 그치지 않는다.

결국은 실패할 소득주도성장론이든 택도없는 괴담같은 낙수이론이든...  미래는 아주 천천히 죽어가는 과정이 아닐까 싶다.

Posted by 너른바다

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